ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΟΝ κο ΜΑΝΟ ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ 2017-2018
------------------------------------------------------------------------------------
Δημιουργικές εργασίες 2017
Εύρεση μέσου όρου βαθμολογίας και χαρακτηρισμός βαθμολογίας
Aλγόριθμος from 6lykeiovolou
ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ – 496 π.Χ ) ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος , μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής.
Το όνομα Πυθαγόρας του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας που προφήτευσε την γέννηση του. Ο Πυθαγόρας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους και ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής. Η σχολή των Πυθαγορείων εμφανίζεται συγκροτημένη μέσα στις πόλεις της Μεγάλης Ελλάδος ως κίνημα πολιτικό και θρησκευτικό. Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός. Επειδή οι περισσότερες πληροφορίες γράφτηκαν πολλούς αιώνες μετά τον θάνατό του, πολύ λίγες είναι αξιόπιστες και γνωστές γι' αυτόν. Επίσης, επηρέασε σημαντικά τη φιλοσοφία και τη θρησκευτική διδασκαλία στα τέλη του 6ου αιώνα π.Χ., συχνά αναφέρεται ως σπουδαίος μαθηματικός και επιστήμονας και είναι γνωστός για το Πυθαγόρειο Θεώρημα που έχει το όνομά του. Γεννήθηκε περίπου το 580 π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος. Ακόμη είναι πιθανό να ταξίδεψε αρκετά όταν ήταν νέος.Ο Πυθαγόρας πέθανε, σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο, καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγο της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη. Αντίθετα ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μεταπόντιο μένοντας σαράντα μέρες νηστικός.Ο Πυθαγόρας δεν έγραψε κανένα έργο, έτσι το βάρος της διάσωσης της διδασκαλίας του έπεσε στους μαθητές του.
Γέννηση και καταγωγή
Οι περισσότεροι αρχαίοι συγγραφείς συμφωνούν πως είναι γιος του Μνησάρχου διαφωνούν όμως ως προς την καταγωγή του Μνησάρχου, γιατί άλλοι μεν λένε ότι ήταν Σάμιος ενώ ο Νεάνθης στο Ε' βιβλίο των "Μυθικών" γράφει πως ήταν Σύριος, από την Τύρο της Συρίας .Επειδή από παιδί ο Πυθαγόρας έδειχνε πως ήταν ικανός για κάθε σπουδή, ο Μνήσαρχος τον οδήγησε στην Τύρο και φρόντισε να μυηθεί στις διδασκαλίες των Χαλδαίων. Από εκεί ο Πυθαγόρας ήρθε ξανά στην Ιωνία και συναναστράφηκε αρχικά με τον Φερεκύδη από τη Σύρος κι έπειτα με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο από την Σάμο. Όταν δε ο Μνήσαρχος απέπλευσε προς την Ιταλία, πήρε μαζί του τον νεαρό Πυθαγόρα στην , σύμφωνα με την εκδοχή του Νεάνθη.
Η νεότητα και οι πρώτες σπουδές στην Ελλάδα
Όντας ακόμη έφηβος, η φήμη του έφθασε εις την Μίλητο προς τον Θαλήν και εις την Πριήνη προς τον Βιάντα, τους δύο εκ των επτά σοφών της αρχαιότητος και σε πολλά μέρη οι άνθρωποι εξεθείαζαν τον νεανία, αποκαλώντας τον, τον "εν Σάμω κομήτην". Μόλις εις τη Σάμο άρχισε να εμφανίζεται το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτους, εποχή όπου ο Πυθαγόρας ήταν περίπου δεκαοκτώ ετών, προβλέποντας ότι η τυραννία θα εμπόδιζε τα σχέδιά του και την φιλομάθειά του, έφυγε μαζί με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο για τη Μίλητο και την Σχολή της Ιωνίας κοντά στον Φερεκύδη και στον φυσικό Αναξίμανδρο και στον φιλόσοφο Θαλή. Με την προσωπικότητα και την ευφράδεια της ομιλίας του, κέρδισε τον θαυμασμό και την εκτίμηση όλων και κατέστη κοινωνός των διδασκαλιών των. Μάλιστα ο Θαλής διακρίνοντας τη μεγάλη διαφορά του Πυθαγόρα εν συγκρίσει με τους άλλους νέους, του παραστάθηκε με ευχαρίστηση και του μετέδωσε όσες γνώσεις κατείχε, που ήταν δυνατόν να μεταδοθούν. Κοντά στον Θαλή ο Πυθαγόρας έλαβε την πρώτη του σοβαρή εκπαίδευση πάνω στα μαθηματικά, τη γεωμετρία και όσα έχουν σχέση με τους αριθμούς και τους υπολογισμούς.
Ήταν ο Θαλής που προέτρεψε τον Πυθαγόρα να μεταβεί στην Αίγυπτο και να συναναστραφεί με τους ιερείς της Μέμφιδος και της Διοσπόλεως, από τους οποίους ο ίδιος ο Θαλής είχε λάβει πολλές γνώσεις, προλέγοντας πως εάν ο Πυθαγόρας ερχόταν σε επαφή μαζί τους, θα γινόταν θεϊκότερος και σοφότερος από όλους τους ανθρώπους.
Τα ταξίδια και η παιδεία του Πυθαγόρα
Ακολουθώντας την προτροπή του διδασκάλου του, απέπλευσε προς την Σιδώνα θεωρώντας πως από εκεί θα μετέβαινε ευκολότερα προς την Αίγυπτο. Εκεί συνάντησε τους απογόνους του Μώχου φυσιολόγου / μάντη και τους άλλους ιεροφάντες της Φοινίκης και μυήθηκε στα ιερά μυστήρια της Βύβλου και της Τύρου και εις τις τελετουργίες που ιερουργούνται σε πολλά μέρη της Συρίας. Εκεί έμαθε πως τα περισσότερα τελετουργικά στοιχεία είναι "άποικα", δηλαδή προέρχονται από αλλού και ότι κατάγονται από τα ιερά της Αιγύπτου. Έτσι, αποφάσισε να διαπλεύσει προς την Αίγυπτο ελπίζοντας ότι εκεί θα μετάσχει σε μυστήρια θειότερα και γνησιότερα.Ο Ιάμβλιχος διηγείται πως κατά το ταξίδι οι Αιγύπτιοι ναύτες είχαν σκεφθεί να τον πουλήσουν διότι πίστευαν πως θα βγάλουν μεγάλο κέρδος από την πώληση ενός τέτοιου νέου, όμως εντός ολίγων ημερών άλλαξαν γνώμη βλέποντας την ασυνήθιστα ήρεμη και επιβλητική συμπεριφορά του Πυθαγόρα, καθώς και την μεγάλη του ικανότητα εγκράτειας στην τροφή, το ποτό και τον ύπνο. Επιπλέον, το πλοίο φαινόταν να προχωρεί με ευθύτητα και ομαλά, σαν να παραστεκόταν κάποιος θεός. Έτσι οι ναύτες πίστεψαν πώς είναι θείος δαίμονας και διήνυσαν το υπόλοιπο ταξίδι με ευχάριστη διάθεση, συμπεριφερόμενοι σεμνότερα προς τον φιλόσοφο, ώσπου το πλοίο έφθασε στα παράλια της Αιγύπτου δίχως να συναντήσει τρικυμία.
Εκεί εντρύφησε ακόμη περισσότερο στη γεωμετρία και την αστρονομία τελειοποιώντας τις γνώσεις του κι έφθασε στο απόγειο της μάθησης της επιστήμης των αριθμών και της μουσικής.
Σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο ο Πυθαγόρας έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο και κατόπιν μεταφέρθηκε στη Βαβυλώνα, αιχμάλωτος από τους στρατιώτες του Καμβύση και ότι εκεί πέρασε ευχάριστα, συναναστρεφόμενος τους Μάγους, δηλαδή τους Πέρσες ιερείς και διδασκόμενος θεολογικά και αστρονομικά θέματα για άλλα δώδεκα έτη, επιστρέφοντας στη Σάμο άγων ήδη το πεντηκοστό έκτο έτος της ηλικίας του. Ο Πορφύριος όμως παραλαμβάνοντας την πληροφορία από τον Αριστοξένο αναφέρει πως ήταν περίπου 40 ετών όταν έφυγε από τη Σάμο για την Ιταλία.
Η επιστροφή στην Ελλάδα
Όταν ο Πυθαγόρας επέστρεψε στη Σάμο, κατασκεύασε διδασκαλείο ημικυκλικό που για αιώνες αργότερα διατηρήθηκε με την ονομασία «ημικύκλιο του Πυθαγόρα», στο οποίο οι Σάμιοι συσκέπτονταν για τα κοινά. Το λίγο διάστημα που έμεινε στην πατρίδα του, ασχολήθηκε με τη διδασκαλία κάποιων νέων, μεταξύ των οποίων ήταν ο Ευρυμένης ο Σάμιος, αθλητής που νίκησε πολλούς και μεγάλους αθλητές στους Ολυμπιακούς Αγώνες. Ακόμη, φέρεται να δίδασκε την αρχή της Ύβρεως και της Νέμεσης και γι' αυτό επινόησε τη Δικαία Κούπα. Είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί. Υπήρχε μία γραμμή που όριζε μέχρι που έπρεπε να γεμίζει κανείς. Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το περιεχόμενο της.
Επίσης υποκίνησε την μάθηση της γεωμετρίας σε έναν νέο με το τέχνασμα να πληρώνει το νέο τρεις οβολούς για κάθε μάθημα που παρακολουθούσε. Όταν ο νέος είχε αντιληφθεί πλέον την υπεροχή των μαθηματικών και με ευχαρίστηση τα μάθαινε, ο Πυθαγόρας προφασίστηκε αδυναμία καταβολής των τριών οβολών. Όπως το περίμενε, ο νέος αρνήθηκε να σταματήσει τα μαθήματα, δίχως να τον ενδιαφέρει πλέον ο μισθός. Τότε ο Πυθαγόρας προφασίστηκε πως έπρεπε να εργαστεί για τα αναγκαία και δεν είχε άλλο χρόνο διαθέσιμο για να τον διδάσκει, αλλά ο νέος τόσο πολύ είχε αγαπήσει τα μαθηματικά που πρότεινε ο ίδιος μισθό τριών οβολών στον Πυθαγόρα για κάθε μάθημα. Λέγεται πως ο νέος ήταν συνονόματος του Πυθαγόρα (και υιός του Ερατοκλέους) και πως απέπλευσε μαζί με το δάσκαλό του, όταν αυτός αποφάσισε να φύγει από τη Σάμο.
Ο Πυθαγόρας επιχειρούσε με κάθε τρόπο να μεταδώσει στους συμπατριώτες του τα μαθήματα των αριθμών καθώς και άλλες γνώσεις της πολύ πλούσιας παιδείας του. Όμως οι Σάμιοι δεν έδειξαν το απαιτούμενο ενδιαφέρουν ούτε και ακολούθησαν τις διδασκαλίες του στον τρόπο ζωής τους με αποτέλεσμα ο Πυθαγόρας να παραιτηθεί εν τέλει από τις προσπάθειες διαπαιδαγώγησης τους. Τον θαύμαζαν βεβαίως και του προσέφεραν αξιώματα και μάλιστα τον ανάγκαζαν να συμμετέχει σε όλες τις δημόσιες λειτουργίες, ενώ η φήμη του τόσο είχε απλωθεί σε όλη την Ελλάδα που άλλοι μεγάλοι φιλόσοφοι επίσης ήλθαν εις την Σάμο, ζητώντας να τον συναντήσουν. Ο Πυθαγόρας διεπίστωσε ότι η συμμόρφωσή του προς τα πρόσθετα αυτά καθήκοντα προς την πατρίδα δυσχέραινε τη δυνατότητα να φιλοσοφεί. Επιπλέον η τυραννίδα του Πολυκράτους είχε πλέον επικρατήσει και ο φιλόσοφος την θεωρούσε εν μέρει υπεύθυνη για την αδιαφορία των Σαμίων προς τα μαθηματικά και την φιλοσοφία. Θεωρώντας πως δεν είναι σωστό ένας άνδρας φιλόσοφος με ελεύθερα φρονήματα να ζει κάτω από ένα τέτοιο πολίτευμα, απεφάσισε να μετοικίσει προς την νότια Ιταλία - είχε δε την γνώμη πως πατρίδα του είναι η χώρα εκείνη όπου περισσότεροι άνθρωποι είναι δυνατόν να βρεθούν με καλή διάθεση να μαθαίνουν.Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του "φιλόσοφο" και ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά διαστήματα από μία χορδή. Ο Πρώκτος (Νεοπλατωνικός φιλόσοφος 410-485 π.Χ.) λέει πως πρώτος ο Πυθαγόρας ανύψωσε την γεωμετρία σε ελεύθερη επιστήμη, γιατί θεώρησε τις αρχές της από πάνω προς κάτω και όχι με βάση τα υλικά αντικείμενα.
Πυθαγόρειο Θεώρημα
Το Πυθαγόρειο θεώρημα ή θεώρημα του Πυθαγόρα στα μαθηματικά,είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίας ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».
Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».
Το θεώρημα μπορεί να γραφεί ως εξίσωση συσχετίζοντας τα μήκη των πλευρών α,β και γ, που ονομάζεται πυθαγόρεια εξίσωση.
Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες και το σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο και αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πριν. Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί με πολλούς τρόπους, σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σε μη Ευκλείδειους χώρους, σε μη ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα και σε ν-διάστατα στερεά.
Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Πράγματι, έχει υποστηριχθεί ότι το πυθαγόρειο θεώρημα, καθώς και η λύση στο πρόβλημα εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού 2,
Ιστορικά
Υπάρχουν τεκμήρια του 4ου αιώνα π.Χ., που ενισχύουν την εκδοχή να είχε ανακαλύψει ο ίδιος ο Πυθαγόρας το ομώνυμο γεωμετρικό Θεώρημα σύμφωνα με το οποίο σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας (η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία) είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.
Σε αντιδιαστολή με τους Βαβυλώνιους και τους Ινδούς που επέλυαν σχετικά προβλήματα με τελείως πρακτικό τρόπο, ο ίδιος ή οι μαθητές του φέρονται να είχαν εκπονήσει την πρώτη θεωρητική του απόδειξη. Ωστόσο, έχει προταθεί πως ο τρόπος με τον οποίο χειρίστηκαν οι Βαβυλώνιοι τους Πυθαγόρειους αριθμούς φανερώνει ότι ήξεραν έναν τρόπο απόδειξης ο οποίος δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη.
Εξαιτίας της μυστηριακής φύσης της σχολής του Πυθαγόρα και της συνήθειας των μαθητών του να πιστώνουν τα πάντα στον διδάσκαλό τους, δεν υπάρχουν επαρκή τεκμήρια όσον αφορά την πατρότητα της απόδειξης του θεωρήματος. Συσχέτιση του ονόματος του Πυθαγόρα με το ομώνυμο θεώρημα γίνεται για τελευταία φορά σε έργα του Κικερώνα και του Πλούταρχου.
Ο Απολλώνιος ο λογιστικός αναφέρει ότι πρόσφερε εκατόμβη, όταν βρήκε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο των δύο άλλων.
Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ' άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι' αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».
Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση).Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από την Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το, επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.
Πυθαγόρεια απόδειξη
Η πυθαγόρεια απόδειξη
Το πυθαγόρειο θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πριν τον Πυθαγόρα, αλλά φαίνεται να είναι αυτός ο πρώτος που κατάφερε να το αποδείξει. Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη που του αποδίδεται είναι πολύ απλή και ονομάζεται απόδειξη με ανακατανομή.
Καθένα από τα δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα όμοια τρίγωνα και η μόνη διαφορά τους είναι ότι τα τετράγωνα θεώρημα κατανέμονται διαφορετικά. Για αυτό το λόγο, η λευκή θεώρημα των δύο θεώρημα τετραγώνων πρέπει να έχει ίσο εμβαδόν. Ο υπολογισμός των εμβαδών των λευκών περιοχών, οδηγεί στο πυθαγόρεια θεώρημα και αποδεικνύει το ζητούμενο.
Το γεγονός ότι αυτή η πολύ απλή απόδειξη αποδίδεται στον Πυθαγόρα, συχνά αναφέρεται σε συγγράμματα του μεταγενέστερου Έλληνα φιλόσοφου και μαθηματικού, Πρόκλου. Αρκετές ακόμα αποδείξεις του θεωρήματος περιγράφοντα παρακάτω, αλλά αυτή είναι γνωστή σαν πυθαγόρεια απόδειξη.
Άλλες μορφές του θεωρήματος
Όπως ειπώθηκε και στην εισαγωγή, αν το γ αντιπροσωπεύει το μήκος της υποτείνουσας και τα α, β τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών, το πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή της πυθαγόρειας εξίσωσης:
Αν τα μήκη α και β είναι γνωστά, τότε το γ μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
Αν το μήκος της υποτείνουσας (γ) και της μίας κάθετης πλευράς (α ή β) είναι γνωστά, τότε το μήκος της άλλης κάθετης πλευρά υπολογίζεται με τις ακόλουθες εξισώσεις:
ή
Η πυθαγόρεια εξίσωση συσχετίζει τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με απλό τρόπο, έτσι ώστε αν είναι γνωστά τα μήκη δύο πλευρών να μπορεί να υπολογισθεί το μήκος της τρίτης. Μία άλλη συνέπεια του θεωρήματος είναι ότι σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά αλλά μικρότερη από το άθροισμα τους.
Μία γενίκευση του θεωρήματος είναι ο νόμος των συνημιτόνων, που επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους κάθε πλευράς σε οποιοδήποτε τρίγωνο, εάν είναι γνωστά τα μήκη των δύο άλλων πλευρών και η γωνία που αυτές σχηματίζουν. Αν η γωνία των δύο αυτών πλευρών είναι ορθή, ο νόμος των συνημιτόνων ταυτίζεται με το πυθαγόρειο θεώρημα.
Άλλες αποδείξεις του θεωρήματος
Το πυθαγόρειο θεώρημα ίσως έχει περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο (με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας να είναι επίσης υποψήφιο για αυτή τη διάκριση): το βιβλίο Η πυθαγόρεια πρόταση περιέχει 370 αποδείξεις.
Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων
απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων
Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε αντιστοίχων πλευρών ομοίων τριγώνων, είναι σταθερός, ανεξάρτητα από το μέγεθος των τριγώνων.
Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με ορθή γωνία τη Γ όπως φαίνεται και στο σχήμα. Φέρω το ύψος από τη γωνία Γ και ονομάζω Η το σημείο τομής του με την ΑΒ. Το σημείο Η χωρίζει την υποτείνουσα σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη δ και ε. Το καινούριο τρίγωνο ΑΓΗ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ, αφού και τα δύο είναι ορθογώνια (λόγω του ορισμού του ύψους) και έχουν κοινή τη γωνία Α, πράγμα που σημαίνει ότι η τρίτη γωνία είναι επίσης ίση στα δύο τρίγωνα (στο σχήμα συμβολίζεται με θ). Ομοίως, το τρίγωνο ΓΒΗ είναι επίσης όμοιο με το ΑΒΓ. Η ομοιότητα των τριγώνων οδηγεί στην ισότητα των λόγων των αντίστοιχων πλευρών
και
Το πρώτο κλάσμα ισούται με το συνημίτονο της γωνίας θ και το δεύτερο με το ημίτονο.
Αλγεβρικές αποδείξεις
Το θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί αλγεβρικά χρησιμοποιώντας τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a,b και c, τοποθετημένες μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς c όπως στο πάνω σχήμα. Τα τρίγωνα είναι ίδια με εμβαδόν ενώ το μικρό τετράγωνο έχει πλευρά b-a και εμβαδόν
Αλλά είναι τετράγωνο πλευράς c και εμβαδού c2, οπότε
Μία παρόμοια απόδειξη χρησιμοποιεί τέσσερα ίδια τρίγωνα τοποθετημένα συμμετρικά γύρω από ένα τετράγωνο πλευράς c. Έτσι δημιουργείται ένα μεγαλύτερο τετράγωνο με πλευρά a+b και εμβαδόν (a + b)2. Τα τέσσερα τρίγωνα και το τετράγωνο πλευράς c πρέπει να έχουν ίσο εμβαδόν με το μεγαλύτερο τετράγωνο,
Μία σχετική απόδειξη είχε εκδώσει ο μετέπειτα πρόεδρος των ΗΠΑ, James Abram Garfield. Αντί για τετράγωνο, χρησιμοποίησε ένα τραπέζιο, το οποίο μπορεί να κατασκευαστεί από το τετράγωνο της δεύτερης από τις παραπάνω αποδείξεις, φέρνοντας μία διαγώνιο του εσωτερικού τετραγώνου, ώστε να κατασκευαστεί το τραπέζιο που φαίνεται στο σχήμα. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι το μισό από αυτό του τετραγώνου και υπολογίζεται από τη σχέση.
Μπορεί κανείς να καταλήξει στο πυθαγόρειο θεώρημα μελετώντας πώς αλλαγές σε μία πλευρά του τριγώνου επηρεάζουν την υποτείνουσα, και εμπλέκοντας το λογισμό.
Το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο όπως φαίνεται στο σχήμα, με υποτείνουσα την BC. Η υποτείνουσα έχει μήκος y, η πλευρά AC έχει μήκος x και η AB μήκος a.
Για κάθε θετικούς αριθμούς α,β και γ τέτοιους ώστε α2+β2=γ2, υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α,β και γ, και σε κάθε τέτοια τρίγωνο η γωνία που σχηματίζουν οι πλευρές α και β είναι ορθή.
Το αντίστροφο εμφανίζεται και στα στοιχεία του Ευκλείδη:
"Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μίας πλευράς ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που αυτές σχηματίζουν είναι ορθή"
Αποδεικνύεται με το νόμο των συνημιτόνων ή ως εξής:
Έστω ΑΒΓ, τρίγωνο με πλευρές α,β,γ και α2+β2=γ2. Κατασκευάζω ένα δεύτερο τρίγωνο με πλευρές μήκους α και β που να σχηματίζουν ορθή γωνία. Τότε λόγω του θεωρήματος, για την υποτείνουσα αυτού του τριγώνου ισχύει:
που ισούται με την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου. Αφού τα τρίγωνα έχουν ίσα μήκη πλευρών, τα τρίγωνα ταυτίζονται και πρέπει να έχουν ίσες γωνίες. Επομένως, η γωνία μεταξύ των πλευρών α και β στο αρχικό τρίγωνο είναι ορθή.
Η παραπάνω απόδειξη χρησιμοποιεί το ίδιο το πυθαγόρειο θεώρημα. Το αντίστροφο μπορεί να αποδειχθεί και χωρίς χρήση του θεωρήματος.
Το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος έχει επίσης οδηγήσει σε έναν απλό τρόπο διαπίστωσης εάν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο. Έστω γ η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και α+β>γ (τριγωνική ανισότητα)
Αν α2+β2=γ2, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο
Αν α2+β2>γ2, τότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο
Αν α2+β2<γ2, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.
ΠΗΓΈΣ
https://el.wikipedia.org/wiki/
http://commonmaths.weebly.com
http://mathland.gr
http://users.sch.gr
http://users.math.uoc.gr
ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.Χ – 496 π.Χ ) ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος , μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής.
Το όνομα Πυθαγόρας του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας που προφήτευσε την γέννηση του. Ο Πυθαγόρας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους και ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής. Η σχολή των Πυθαγορείων εμφανίζεται συγκροτημένη μέσα στις πόλεις της Μεγάλης Ελλάδος ως κίνημα πολιτικό και θρησκευτικό. Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός. Επειδή οι περισσότερες πληροφορίες γράφτηκαν πολλούς αιώνες μετά τον θάνατό του, πολύ λίγες είναι αξιόπιστες και γνωστές γι' αυτόν. Επίσης, επηρέασε σημαντικά τη φιλοσοφία και τη θρησκευτική διδασκαλία στα τέλη του 6ου αιώνα π.Χ., συχνά αναφέρεται ως σπουδαίος μαθηματικός και επιστήμονας και είναι γνωστός για το Πυθαγόρειο Θεώρημα που έχει το όνομά του. Γεννήθηκε περίπου το 580 π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος. Ακόμη είναι πιθανό να ταξίδεψε αρκετά όταν ήταν νέος.Ο Πυθαγόρας πέθανε, σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο, καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγο της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη. Αντίθετα ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μεταπόντιο μένοντας σαράντα μέρες νηστικός.Ο Πυθαγόρας δεν έγραψε κανένα έργο, έτσι το βάρος της διάσωσης της διδασκαλίας του έπεσε στους μαθητές του.
Γέννηση και καταγωγή
Οι περισσότεροι αρχαίοι συγγραφείς συμφωνούν πως είναι γιος του Μνησάρχου διαφωνούν όμως ως προς την καταγωγή του Μνησάρχου, γιατί άλλοι μεν λένε ότι ήταν Σάμιος ενώ ο Νεάνθης στο Ε' βιβλίο των "Μυθικών" γράφει πως ήταν Σύριος, από την Τύρο της Συρίας .Επειδή από παιδί ο Πυθαγόρας έδειχνε πως ήταν ικανός για κάθε σπουδή, ο Μνήσαρχος τον οδήγησε στην Τύρο και φρόντισε να μυηθεί στις διδασκαλίες των Χαλδαίων. Από εκεί ο Πυθαγόρας ήρθε ξανά στην Ιωνία και συναναστράφηκε αρχικά με τον Φερεκύδη από τη Σύρος κι έπειτα με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο από την Σάμο. Όταν δε ο Μνήσαρχος απέπλευσε προς την Ιταλία, πήρε μαζί του τον νεαρό Πυθαγόρα στην , σύμφωνα με την εκδοχή του Νεάνθη.
Η νεότητα και οι πρώτες σπουδές στην Ελλάδα
Όντας ακόμη έφηβος, η φήμη του έφθασε εις την Μίλητο προς τον Θαλήν και εις την Πριήνη προς τον Βιάντα, τους δύο εκ των επτά σοφών της αρχαιότητος και σε πολλά μέρη οι άνθρωποι εξεθείαζαν τον νεανία, αποκαλώντας τον, τον "εν Σάμω κομήτην". Μόλις εις τη Σάμο άρχισε να εμφανίζεται το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτους, εποχή όπου ο Πυθαγόρας ήταν περίπου δεκαοκτώ ετών, προβλέποντας ότι η τυραννία θα εμπόδιζε τα σχέδιά του και την φιλομάθειά του, έφυγε μαζί με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο για τη Μίλητο και την Σχολή της Ιωνίας κοντά στον Φερεκύδη και στον φυσικό Αναξίμανδρο και στον φιλόσοφο Θαλή. Με την προσωπικότητα και την ευφράδεια της ομιλίας του, κέρδισε τον θαυμασμό και την εκτίμηση όλων και κατέστη κοινωνός των διδασκαλιών των. Μάλιστα ο Θαλής διακρίνοντας τη μεγάλη διαφορά του Πυθαγόρα εν συγκρίσει με τους άλλους νέους, του παραστάθηκε με ευχαρίστηση και του μετέδωσε όσες γνώσεις κατείχε, που ήταν δυνατόν να μεταδοθούν. Κοντά στον Θαλή ο Πυθαγόρας έλαβε την πρώτη του σοβαρή εκπαίδευση πάνω στα μαθηματικά, τη γεωμετρία και όσα έχουν σχέση με τους αριθμούς και τους υπολογισμούς.
Ήταν ο Θαλής που προέτρεψε τον Πυθαγόρα να μεταβεί στην Αίγυπτο και να συναναστραφεί με τους ιερείς της Μέμφιδος και της Διοσπόλεως, από τους οποίους ο ίδιος ο Θαλής είχε λάβει πολλές γνώσεις, προλέγοντας πως εάν ο Πυθαγόρας ερχόταν σε επαφή μαζί τους, θα γινόταν θεϊκότερος και σοφότερος από όλους τους ανθρώπους.
Τα ταξίδια και η παιδεία του Πυθαγόρα
Ακολουθώντας την προτροπή του διδασκάλου του, απέπλευσε προς την Σιδώνα θεωρώντας πως από εκεί θα μετέβαινε ευκολότερα προς την Αίγυπτο. Εκεί συνάντησε τους απογόνους του Μώχου φυσιολόγου / μάντη και τους άλλους ιεροφάντες της Φοινίκης και μυήθηκε στα ιερά μυστήρια της Βύβλου και της Τύρου και εις τις τελετουργίες που ιερουργούνται σε πολλά μέρη της Συρίας. Εκεί έμαθε πως τα περισσότερα τελετουργικά στοιχεία είναι "άποικα", δηλαδή προέρχονται από αλλού και ότι κατάγονται από τα ιερά της Αιγύπτου. Έτσι, αποφάσισε να διαπλεύσει προς την Αίγυπτο ελπίζοντας ότι εκεί θα μετάσχει σε μυστήρια θειότερα και γνησιότερα.Ο Ιάμβλιχος διηγείται πως κατά το ταξίδι οι Αιγύπτιοι ναύτες είχαν σκεφθεί να τον πουλήσουν διότι πίστευαν πως θα βγάλουν μεγάλο κέρδος από την πώληση ενός τέτοιου νέου, όμως εντός ολίγων ημερών άλλαξαν γνώμη βλέποντας την ασυνήθιστα ήρεμη και επιβλητική συμπεριφορά του Πυθαγόρα, καθώς και την μεγάλη του ικανότητα εγκράτειας στην τροφή, το ποτό και τον ύπνο. Επιπλέον, το πλοίο φαινόταν να προχωρεί με ευθύτητα και ομαλά, σαν να παραστεκόταν κάποιος θεός. Έτσι οι ναύτες πίστεψαν πώς είναι θείος δαίμονας και διήνυσαν το υπόλοιπο ταξίδι με ευχάριστη διάθεση, συμπεριφερόμενοι σεμνότερα προς τον φιλόσοφο, ώσπου το πλοίο έφθασε στα παράλια της Αιγύπτου δίχως να συναντήσει τρικυμία.
Εκεί εντρύφησε ακόμη περισσότερο στη γεωμετρία και την αστρονομία τελειοποιώντας τις γνώσεις του κι έφθασε στο απόγειο της μάθησης της επιστήμης των αριθμών και της μουσικής.
Σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο ο Πυθαγόρας έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο και κατόπιν μεταφέρθηκε στη Βαβυλώνα, αιχμάλωτος από τους στρατιώτες του Καμβύση και ότι εκεί πέρασε ευχάριστα, συναναστρεφόμενος τους Μάγους, δηλαδή τους Πέρσες ιερείς και διδασκόμενος θεολογικά και αστρονομικά θέματα για άλλα δώδεκα έτη, επιστρέφοντας στη Σάμο άγων ήδη το πεντηκοστό έκτο έτος της ηλικίας του. Ο Πορφύριος όμως παραλαμβάνοντας την πληροφορία από τον Αριστοξένο αναφέρει πως ήταν περίπου 40 ετών όταν έφυγε από τη Σάμο για την Ιταλία.
Η επιστροφή στην Ελλάδα
Όταν ο Πυθαγόρας επέστρεψε στη Σάμο, κατασκεύασε διδασκαλείο ημικυκλικό που για αιώνες αργότερα διατηρήθηκε με την ονομασία «ημικύκλιο του Πυθαγόρα», στο οποίο οι Σάμιοι συσκέπτονταν για τα κοινά. Το λίγο διάστημα που έμεινε στην πατρίδα του, ασχολήθηκε με τη διδασκαλία κάποιων νέων, μεταξύ των οποίων ήταν ο Ευρυμένης ο Σάμιος, αθλητής που νίκησε πολλούς και μεγάλους αθλητές στους Ολυμπιακούς Αγώνες. Ακόμη, φέρεται να δίδασκε την αρχή της Ύβρεως και της Νέμεσης και γι' αυτό επινόησε τη Δικαία Κούπα. Είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί. Υπήρχε μία γραμμή που όριζε μέχρι που έπρεπε να γεμίζει κανείς. Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το περιεχόμενο της.
Επίσης υποκίνησε την μάθηση της γεωμετρίας σε έναν νέο με το τέχνασμα να πληρώνει το νέο τρεις οβολούς για κάθε μάθημα που παρακολουθούσε. Όταν ο νέος είχε αντιληφθεί πλέον την υπεροχή των μαθηματικών και με ευχαρίστηση τα μάθαινε, ο Πυθαγόρας προφασίστηκε αδυναμία καταβολής των τριών οβολών. Όπως το περίμενε, ο νέος αρνήθηκε να σταματήσει τα μαθήματα, δίχως να τον ενδιαφέρει πλέον ο μισθός. Τότε ο Πυθαγόρας προφασίστηκε πως έπρεπε να εργαστεί για τα αναγκαία και δεν είχε άλλο χρόνο διαθέσιμο για να τον διδάσκει, αλλά ο νέος τόσο πολύ είχε αγαπήσει τα μαθηματικά που πρότεινε ο ίδιος μισθό τριών οβολών στον Πυθαγόρα για κάθε μάθημα. Λέγεται πως ο νέος ήταν συνονόματος του Πυθαγόρα (και υιός του Ερατοκλέους) και πως απέπλευσε μαζί με το δάσκαλό του, όταν αυτός αποφάσισε να φύγει από τη Σάμο.
Ο Πυθαγόρας επιχειρούσε με κάθε τρόπο να μεταδώσει στους συμπατριώτες του τα μαθήματα των αριθμών καθώς και άλλες γνώσεις της πολύ πλούσιας παιδείας του. Όμως οι Σάμιοι δεν έδειξαν το απαιτούμενο ενδιαφέρουν ούτε και ακολούθησαν τις διδασκαλίες του στον τρόπο ζωής τους με αποτέλεσμα ο Πυθαγόρας να παραιτηθεί εν τέλει από τις προσπάθειες διαπαιδαγώγησης τους. Τον θαύμαζαν βεβαίως και του προσέφεραν αξιώματα και μάλιστα τον ανάγκαζαν να συμμετέχει σε όλες τις δημόσιες λειτουργίες, ενώ η φήμη του τόσο είχε απλωθεί σε όλη την Ελλάδα που άλλοι μεγάλοι φιλόσοφοι επίσης ήλθαν εις την Σάμο, ζητώντας να τον συναντήσουν. Ο Πυθαγόρας διεπίστωσε ότι η συμμόρφωσή του προς τα πρόσθετα αυτά καθήκοντα προς την πατρίδα δυσχέραινε τη δυνατότητα να φιλοσοφεί. Επιπλέον η τυραννίδα του Πολυκράτους είχε πλέον επικρατήσει και ο φιλόσοφος την θεωρούσε εν μέρει υπεύθυνη για την αδιαφορία των Σαμίων προς τα μαθηματικά και την φιλοσοφία. Θεωρώντας πως δεν είναι σωστό ένας άνδρας φιλόσοφος με ελεύθερα φρονήματα να ζει κάτω από ένα τέτοιο πολίτευμα, απεφάσισε να μετοικίσει προς την νότια Ιταλία - είχε δε την γνώμη πως πατρίδα του είναι η χώρα εκείνη όπου περισσότεροι άνθρωποι είναι δυνατόν να βρεθούν με καλή διάθεση να μαθαίνουν.Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του "φιλόσοφο" και ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά διαστήματα από μία χορδή. Ο Πρώκτος (Νεοπλατωνικός φιλόσοφος 410-485 π.Χ.) λέει πως πρώτος ο Πυθαγόρας ανύψωσε την γεωμετρία σε ελεύθερη επιστήμη, γιατί θεώρησε τις αρχές της από πάνω προς κάτω και όχι με βάση τα υλικά αντικείμενα.
Πυθαγόρειο Θεώρημα
Το Πυθαγόρειο θεώρημα ή θεώρημα του Πυθαγόρα στα μαθηματικά,είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίας ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».
Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».
Το θεώρημα μπορεί να γραφεί ως εξίσωση συσχετίζοντας τα μήκη των πλευρών α,β και γ, που ονομάζεται πυθαγόρεια εξίσωση.
Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες και το σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο και αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πριν. Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί με πολλούς τρόπους, σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σε μη Ευκλείδειους χώρους, σε μη ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα και σε ν-διάστατα στερεά.
Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Πράγματι, έχει υποστηριχθεί ότι το πυθαγόρειο θεώρημα, καθώς και η λύση στο πρόβλημα εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού 2,
Ιστορικά
Υπάρχουν τεκμήρια του 4ου αιώνα π.Χ., που ενισχύουν την εκδοχή να είχε ανακαλύψει ο ίδιος ο Πυθαγόρας το ομώνυμο γεωμετρικό Θεώρημα σύμφωνα με το οποίο σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας (η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία) είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.
Σε αντιδιαστολή με τους Βαβυλώνιους και τους Ινδούς που επέλυαν σχετικά προβλήματα με τελείως πρακτικό τρόπο, ο ίδιος ή οι μαθητές του φέρονται να είχαν εκπονήσει την πρώτη θεωρητική του απόδειξη. Ωστόσο, έχει προταθεί πως ο τρόπος με τον οποίο χειρίστηκαν οι Βαβυλώνιοι τους Πυθαγόρειους αριθμούς φανερώνει ότι ήξεραν έναν τρόπο απόδειξης ο οποίος δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη.
Εξαιτίας της μυστηριακής φύσης της σχολής του Πυθαγόρα και της συνήθειας των μαθητών του να πιστώνουν τα πάντα στον διδάσκαλό τους, δεν υπάρχουν επαρκή τεκμήρια όσον αφορά την πατρότητα της απόδειξης του θεωρήματος. Συσχέτιση του ονόματος του Πυθαγόρα με το ομώνυμο θεώρημα γίνεται για τελευταία φορά σε έργα του Κικερώνα και του Πλούταρχου.
Ο Απολλώνιος ο λογιστικός αναφέρει ότι πρόσφερε εκατόμβη, όταν βρήκε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο των δύο άλλων.
Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ' άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι' αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».
Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση).Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από την Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το, επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.
Πυθαγόρεια απόδειξη
Η πυθαγόρεια απόδειξη
Το πυθαγόρειο θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πριν τον Πυθαγόρα, αλλά φαίνεται να είναι αυτός ο πρώτος που κατάφερε να το αποδείξει. Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη που του αποδίδεται είναι πολύ απλή και ονομάζεται απόδειξη με ανακατανομή.
Καθένα από τα δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα όμοια τρίγωνα και η μόνη διαφορά τους είναι ότι τα τετράγωνα θεώρημα κατανέμονται διαφορετικά. Για αυτό το λόγο, η λευκή θεώρημα των δύο θεώρημα τετραγώνων πρέπει να έχει ίσο εμβαδόν. Ο υπολογισμός των εμβαδών των λευκών περιοχών, οδηγεί στο πυθαγόρεια θεώρημα και αποδεικνύει το ζητούμενο.
Το γεγονός ότι αυτή η πολύ απλή απόδειξη αποδίδεται στον Πυθαγόρα, συχνά αναφέρεται σε συγγράμματα του μεταγενέστερου Έλληνα φιλόσοφου και μαθηματικού, Πρόκλου. Αρκετές ακόμα αποδείξεις του θεωρήματος περιγράφοντα παρακάτω, αλλά αυτή είναι γνωστή σαν πυθαγόρεια απόδειξη.
Άλλες μορφές του θεωρήματος
Όπως ειπώθηκε και στην εισαγωγή, αν το γ αντιπροσωπεύει το μήκος της υποτείνουσας και τα α, β τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών, το πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή της πυθαγόρειας εξίσωσης:
Αν τα μήκη α και β είναι γνωστά, τότε το γ μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
Αν το μήκος της υποτείνουσας (γ) και της μίας κάθετης πλευράς (α ή β) είναι γνωστά, τότε το μήκος της άλλης κάθετης πλευρά υπολογίζεται με τις ακόλουθες εξισώσεις:
ή
Η πυθαγόρεια εξίσωση συσχετίζει τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με απλό τρόπο, έτσι ώστε αν είναι γνωστά τα μήκη δύο πλευρών να μπορεί να υπολογισθεί το μήκος της τρίτης. Μία άλλη συνέπεια του θεωρήματος είναι ότι σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά αλλά μικρότερη από το άθροισμα τους.
Μία γενίκευση του θεωρήματος είναι ο νόμος των συνημιτόνων, που επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους κάθε πλευράς σε οποιοδήποτε τρίγωνο, εάν είναι γνωστά τα μήκη των δύο άλλων πλευρών και η γωνία που αυτές σχηματίζουν. Αν η γωνία των δύο αυτών πλευρών είναι ορθή, ο νόμος των συνημιτόνων ταυτίζεται με το πυθαγόρειο θεώρημα.
Άλλες αποδείξεις του θεωρήματος
Το πυθαγόρειο θεώρημα ίσως έχει περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο (με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας να είναι επίσης υποψήφιο για αυτή τη διάκριση): το βιβλίο Η πυθαγόρεια πρόταση περιέχει 370 αποδείξεις.
Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων
απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων
Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε αντιστοίχων πλευρών ομοίων τριγώνων, είναι σταθερός, ανεξάρτητα από το μέγεθος των τριγώνων.
Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με ορθή γωνία τη Γ όπως φαίνεται και στο σχήμα. Φέρω το ύψος από τη γωνία Γ και ονομάζω Η το σημείο τομής του με την ΑΒ. Το σημείο Η χωρίζει την υποτείνουσα σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη δ και ε. Το καινούριο τρίγωνο ΑΓΗ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ, αφού και τα δύο είναι ορθογώνια (λόγω του ορισμού του ύψους) και έχουν κοινή τη γωνία Α, πράγμα που σημαίνει ότι η τρίτη γωνία είναι επίσης ίση στα δύο τρίγωνα (στο σχήμα συμβολίζεται με θ). Ομοίως, το τρίγωνο ΓΒΗ είναι επίσης όμοιο με το ΑΒΓ. Η ομοιότητα των τριγώνων οδηγεί στην ισότητα των λόγων των αντίστοιχων πλευρών
και
Το πρώτο κλάσμα ισούται με το συνημίτονο της γωνίας θ και το δεύτερο με το ημίτονο.
Αλγεβρικές αποδείξεις
Το θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί αλγεβρικά χρησιμοποιώντας τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a,b και c, τοποθετημένες μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς c όπως στο πάνω σχήμα. Τα τρίγωνα είναι ίδια με εμβαδόν ενώ το μικρό τετράγωνο έχει πλευρά b-a και εμβαδόν
Αλλά είναι τετράγωνο πλευράς c και εμβαδού c2, οπότε
Μία παρόμοια απόδειξη χρησιμοποιεί τέσσερα ίδια τρίγωνα τοποθετημένα συμμετρικά γύρω από ένα τετράγωνο πλευράς c. Έτσι δημιουργείται ένα μεγαλύτερο τετράγωνο με πλευρά a+b και εμβαδόν (a + b)2. Τα τέσσερα τρίγωνα και το τετράγωνο πλευράς c πρέπει να έχουν ίσο εμβαδόν με το μεγαλύτερο τετράγωνο,
Μία σχετική απόδειξη είχε εκδώσει ο μετέπειτα πρόεδρος των ΗΠΑ, James Abram Garfield. Αντί για τετράγωνο, χρησιμοποίησε ένα τραπέζιο, το οποίο μπορεί να κατασκευαστεί από το τετράγωνο της δεύτερης από τις παραπάνω αποδείξεις, φέρνοντας μία διαγώνιο του εσωτερικού τετραγώνου, ώστε να κατασκευαστεί το τραπέζιο που φαίνεται στο σχήμα. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι το μισό από αυτό του τετραγώνου και υπολογίζεται από τη σχέση.
Μπορεί κανείς να καταλήξει στο πυθαγόρειο θεώρημα μελετώντας πώς αλλαγές σε μία πλευρά του τριγώνου επηρεάζουν την υποτείνουσα, και εμπλέκοντας το λογισμό.
Το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο όπως φαίνεται στο σχήμα, με υποτείνουσα την BC. Η υποτείνουσα έχει μήκος y, η πλευρά AC έχει μήκος x και η AB μήκος a.
Για κάθε θετικούς αριθμούς α,β και γ τέτοιους ώστε α2+β2=γ2, υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α,β και γ, και σε κάθε τέτοια τρίγωνο η γωνία που σχηματίζουν οι πλευρές α και β είναι ορθή.
Το αντίστροφο εμφανίζεται και στα στοιχεία του Ευκλείδη:
"Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μίας πλευράς ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που αυτές σχηματίζουν είναι ορθή"
Αποδεικνύεται με το νόμο των συνημιτόνων ή ως εξής:
Έστω ΑΒΓ, τρίγωνο με πλευρές α,β,γ και α2+β2=γ2. Κατασκευάζω ένα δεύτερο τρίγωνο με πλευρές μήκους α και β που να σχηματίζουν ορθή γωνία. Τότε λόγω του θεωρήματος, για την υποτείνουσα αυτού του τριγώνου ισχύει:
που ισούται με την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου. Αφού τα τρίγωνα έχουν ίσα μήκη πλευρών, τα τρίγωνα ταυτίζονται και πρέπει να έχουν ίσες γωνίες. Επομένως, η γωνία μεταξύ των πλευρών α και β στο αρχικό τρίγωνο είναι ορθή.
Η παραπάνω απόδειξη χρησιμοποιεί το ίδιο το πυθαγόρειο θεώρημα. Το αντίστροφο μπορεί να αποδειχθεί και χωρίς χρήση του θεωρήματος.
Το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος έχει επίσης οδηγήσει σε έναν απλό τρόπο διαπίστωσης εάν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο. Έστω γ η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και α+β>γ (τριγωνική ανισότητα)
Αν α2+β2=γ2, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο
Αν α2+β2>γ2, τότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο
Αν α2+β2<γ2, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.
ΠΗΓΈΣ
https://el.wikipedia.org/wiki/
http://commonmaths.weebly.com
http://mathland.gr
http://users.sch.gr
http://users.math.uoc.gr
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου